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By Professor Dr. Gert Böhme (auth.)

ISBN-10: 3540523170

ISBN-13: 9783540523178

ISBN-10: 3662005980

ISBN-13: 9783662005989

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Demzufolge machen wir den Ansatz 4 c. rch Koeffizientenvergleich das "gestaffelte" lineare System aus dem die Koeffizienten nacheinander, beginnend bei der ersten, dann der zweiten Gleichung usw. folgen: f 3 3 x - 2x + x - 4 d x 4 _ 8x 3 + 24x 2 - 32x + 16 x = - 2 3. Fall: I f dx 4 x-2 + f dx 5 (x _ 2)2 + I dx (x _ 2)3 dx 5 2 = In Ix - 2 I - -4- + + C (x_2)4 x-2 2(x-2)2 3(x-2)3 Das Nennerpolynom besitzt lauter einfache komplexe Nullstellen In diesem Fall werden je zwei zueinander konjugiert komplexe Nullstellen zu einem quadratischen Faktor zusammengefaßt x 1 =0'1+ jß 1 x 2 = 0'1 - jß 1 =:X 1 I (0' l' ß 1 E lR; / = -1) (x - x 1 )(x - x 2 ) = (x - 0'1 - jß 1 )(x - 0'1 + jß 1 ) = (x - 0'1)2 + i3~ und Teilbrüche mit solchen quadratischen Nennerpolynomen abgespalten.

F -3 1 6. 3 Das bestimmte Integral kann auf diese Weise ni c h t behandelt werden, da der Integrand f(x) tervall - 1 E:;; xE:;; + 1 nicht durchweg stetig ist (bei x =0 = 1/x2 im In- liegt eine Unendlichkeits- stelle! ) Sätze über Integrationsgrenzen: Für die Grenzen des bestimmten Integrals gelten einige wichtige Sätze, die im folgenden erläutert seien. 2) Bedeutung erlangen. Satz Vertauscht man die Integrationsgrenzen, so ändert der Integralwert sein Vorzeichen: a b f f(x)dx f =- a Beweis: Ist f(x)dx b b f f(x)dx = F(b) - F(a) , a so ergibt sich für f a f b f(x)dx=F(a)-F(b)=-[F(b)-F(a)J=- b f(x)dx.

H. man wird auf ein Integral derselben Struktur aber mit einem um 1 erniedrigten Exponenten geführt. 2 Formale Integrationsmethoden Nach endlich vielen (nämlich k - 1) Rekursionsschritten kommt man also bei 12 auf ein Grundintegral zurück. Zusammengefaßt gilt für jedes ganze k > 1 und ß 0 * f Ax + B --;;':";':'2r--::;2:-;-"k dx [(x - 0') + ß J A ( =2" 11 + B S + 0' A ) 12 x - 0' =-e- Beispiel Man ermittle 3 I - I x -2x+l d I [(x_l)2+ 5J 2 x. Lösung: Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet => I =>A 1 =1, B 1 =2, x 3 - 2x + 1 dx = [(x - 1)2+ 5J 2 I A 2 =-4, B 2 =-11 x +2 dx (x - 1)2+ 5 f 4x + 11 dx • [(x _ 1)2+ 5J 2 Das erste Integral gehört zum "3.

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Analysis: Teil 2: Integralrechnung, Reihen, Differentialgleichungen by Professor Dr. Gert Böhme (auth.)


by Joseph
4.0

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