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August 1996 3 7;! . 1 2 3 4 5 6 3 6 2 5 1 4 ! 15 Der Satz von Lagrange Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. 1. De nition Die Relation RU wird de niert durch RU = f(x y) 2 G G : xy;1 2 U g. RU hei t auch Rechtskongruenz. 2. 3. Satz Die Relation RU ist eine mit der Verknupfung in G rechtsvertragliche Aquivalenzrelation. Beweis: Re exivitat: xx;1 = e 2 U . Symmetrie: (x y ) 2 RU , xy ;1 2 U Untergr. () (xy;1);1 = yx;1 2 U Transitivitat: xy ;1 2 U , yz ;1 2 U ) xy ;1 yz ;1 = xz ;1 2 U .

Die Aquivalenzklassen hei en Kongruenzklassen modulo U . Die Abbildung von Ringelementen auf solche Aquivalenzklassen ist genau dann mit den Operationen in R vertraglich, wenn U ein Ideal in folgendem Sinne ist. 1. De nition 1. Eine Teilmenge I von R hei t Ideal von R, wenn I ein Unterring von R ist, der aI I fur alle a 2 R erfullt. 2. Ist I ein Ideal von R, so hei t die Menge der Kongruenzklassen zusammen mit der vertreterweise de nierten Multiplikation und Addition Restklassenring von R modulo I.

Fur x 2 X setze ferner (x;1 );1 = x. Damit hat jedes Zeichen aus X X ;1 ein Inverses. 1. 2. De nition Ein Wort w in W (X ) hei t reduziert, wenn in w kein Zeichen ne- ben seinem Inversen steht. Die Menge der reduzierten Worter in W (X ) wird mit W0 (X ) bezeichnet. Ein Verfahren, da ein gegebenes Wort w 2 W (X ) reduziert, funktioniert wie folgt. Man geht w von links nach rechts durch. Wenn man auf das erste Paar xx;1 oder x;1 x sto t, la t man dieses Paar weg. Diese Prozedur wird solange wiederholt, bis das Wort reduziert ist.

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by Robert
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